杨 俊——加权将军饮马问题的终极答案

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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加权将军饮马问题的终极答案

广东深圳     杨  俊

解析：这类AP+kPB结构的式子,就是所谓的加权的将军饮马问题,之前的解法普遍是以解方程为主流的解法,当其中一个点的坐标一换的时候,很容易对应的方程很难得到比较好的解,所以一般只给学生做情况比较简单的情况。

  法一：直接转化求导

法二：光的折射定律

由于法一需要使用求导的知识,故一般的初中生不容易掌握,故初中生可以采用这个方法来求解此类问题。此题等价于一束光从点A(0,1)出发,经过x轴折射后经过点B^’(3,-2), 且两种介质的折射率之比为1:2,由斯涅尔定律：

   两种方法看似不同,但其本质是一致的,都是通过解方程来得到点P的坐标,但如果将点B的坐标换成(3,3),转化以后的方程就不是很好解了,经过不断的尝试,终于找到了这类题最简洁高效的解法。

   法三：初等几何解法

这里,有细心的人提出一个致命的问题：如果把点B(3,2)的坐标换成(3,1)为什么用这种方法计算出来的结果,和事实不符呢？

经过深入的计算和思考,发现,由于这里的数据计算出的来最小值的位置是P(2,0),恰有

AP⊥BP，所以这里旋转90度的做法是成立,而且所有直线y=2x-4上的点都是成立,但不在这条直线y=2x-4上的点,这个做法就不成立了。类似的,还所有A(0,1),B(4,3)和k=3的组合.也是可以这样做的。

综合可得：加权的将军饮马问题,只有求导和光的折射定律是通法,其他的方法都只能是在特定的数据组合下才能成立,在一般情况下，并没有可以快速解决的通法。

 杨俊老师往期发表文章链接：

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